Nun ist auch zum dritten Mal nicht der erwartete Crash eingetreten. Wobei schon das Adjektiv „erwartet“ ist in sich widersprüchlich.

Und nun fange uch wieder an, über Extremereignisse nachzudenken. Wie einst.

Die negative Volatilität lässt mich nicht in Ruhe. Ich hatte seinerzeit darüber geschrieben, relativ oberflächlich, so dass ich es nicht einmal jetzt lesen will.

In den letzten Tagen ist mir eine nette Veröffentlichung von Rolf Poulsen

„Four Things You Might Not Know about the Black-Scholes Formula

“

https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=991344

 

Neben vielen interessanten Aspekten der Black- Scholes Formel analysiert er die Annahme negativer implziten Volatilität. Auf den ersten Blick handelt es sich um einen Unsinn. Die Volatilität, zumindest die historische, kann ja nicht kleiner null sein. Das würde bedeuten, eine Entfernung zwischen einem Durchschnittswert und deren Komponenten könnte < 0 sein. Das geht schon deshalb nicht,weil hier eine Quadratwurzel eingesetzt wird. So weit so gut.

Die implizite Volatilität ist jedoch etwas anders. Sie beschreibt die Erwartung und nicht den reellen Zustand.  Warum darf ich nicht eine Schwankungsbreite erwarten, die so gering dass sogar kleine null ist?

Halten wir die Annahme and er Stelle fest und rechnen uns die Konsequenzen für die Optionspreise aus.

Wenn ich –σ in die Call-Formel einsetze, erhalte ich

(S(t), τ, K, r, –σ) = SN() – K N()

= S(1- N() – K (1-N())

= S – K –  (S(t), τ, K, r, σ)

= -B(S(t), τ, K, r, σ)

S: aktueller Preis

K: Strike

N() Normalverteilung,  Argumente inde r Black-Scholes Formel.

 

Es werden dabei die Symmetrie der Normalverteilung und die Put-Call – Parität angewednet.

Als Eregbnis erhalten wir eine negative Prämie für den Kauf vom Call und umgekehrt.

Der Käufer bekommt demnach Geld, wenn er das Recht erwirbt und der Stillhalter muss hinblättern.

Erklären kann ich mir es nur so. Die Annahme der negativen Volatilität is immer falsch, und der Käufer muss kaufen, da dies für ihn vorteilhafter ist. Wie auch immer. Interessantes Gedankenexperiment.